Fractal: Η Μαγική Γεωμετρία
H γεωμετρία fractal και οι κλασματικές διαστάσεις
Δρ Μάνος Δανέζης
Επίκουρος καθηγητής Αστροφυσικής
Τμήμα Φυσικής ΕΚΠΑ
Από το βιβλίο των Μάνου Δανέζη και Στράτου Θεοδοσίου «Η Κοσμολογία της Νόησης – Εισαγωγή στην Κοσμολογία, Εκδόσεις Δίαυλος, Αθήνα 2001)
Όλοι μας είμαστε σίγουροι, έτσι τουλάχιστον μας δίδαξαν στα σχολεία, ότι το μήκος της περιμέτρου ενός νησιού είναι καθορισμένο και σταθερό.
Είναι αλήθεια όμως κάτι τέτοιο; Όπως γνωρίζουμε σήμερα αυτό δεν είναι αληθές.
Αν μετρήσουμε το μήκος της περιμέτρου ενός νησιού με μια μεζούρα μήκους ενός μέτρου δεν μπορούμε να μετρήσουμε τα κοιλώματα των ακτών που η έκτασή τους είναι μικρότερη του ενός μέτρου.
Aν, προκειμένου να μετρήσουμε την περίμετρό του χρησιμοποιήσουμε όλο και μικρότερη μετρητική μονάδα, ως αποτέλεσμα κάθε μέτρησης της περιμέτρου θα έχουμε κάθε φορά και ένα μεγαλύτερο μήκος, διότι θα μετράμε και την περίμετρο όλο και μικρότερων κοιλωμάτων. Τελικά, αν χρησιμοποιήσουμε μια μετρητική μονάδα απειροστά μικρή, θα καταλήξουμε να μετράμε κοιλώματα απειροστής έκτασης και σαν αποτέλεσμα θα έχουμε το ότι η περίμετρος του νησιού θα είναι απείρου μήκους.
Tο γεγονός αυτό εκ πρώτης απόψεως φαίνεται αδύνατο. Είναι δηλαδή δυνατόν το μήκος της περιμέτρου ενός νησιού να είναι άπειρο;
Αν το μήκος της περιμέτρου του είναι άπειρο, δεν θα έπρεπε το αντίστοιχο εμβαδόν του να είναι άπειρο;
H απάντηση είναι απλή. Ναι, το εμβαδόν του θα ήταν άπειρο, αν το σχήμα της περιμέτρου της ακτής ήταν Ευκλείδειο. Στην περίπτωσή μας όμως, το σχήμα της ακτής μορφοποιείται στο πλαίσιο μιας άλλης γεωμετρίας, η οποία λόγω των ιδιοτήτων της αίρει το αδιέξοδο και επιτρέπει η μεν περίμετρος του νησιού να είναι άπειρη και το εμβαδόν του πεπερασμένο.
H γεωμετρία που καλύπτει το παράδοξο αυτό φαινόμενο ονομάζεται μορφοκλασματική γεωμετρία, ή γεωμετρία fractal.
Δημιουργώντας μια fractal περίμετρο
Aς δούμε όμως πώς μπορούμε να δημιουργήσουμε με απλό τρόπο μια μορφοκλασματική περιμετρική γραμμή, της οποίας το μήκος θα τείνει στο άπειρο, ενώ το περικλειόμενο εμβαδόν θα είναι πεπερασμένο.
Θεωρούμε ένα ισόπλευρο τρίγωνο (σχ. α). Aφαιρούμε από κάθε πλευρά το μεσαίο ένα τρίτο της και στη θέση του κομματιού που φεύγει τοποθετούμε ένα μικρότερο ισόπλευρο τρίγωνο με μήκος πλευράς ίσο με το 1/3 αυτής του αρχικού τριγώνου (σχ. β). Aπό την κάθε πλευρά του αστεριού που δημιουργείται αφαιρούμε το 1/3 της και στη θέση του τοποθετούμε ένα ισόπλευρο τρίγωνο με πλευρά το 1/3 της πλευράς του αστεριού (σχ. γ). H ακολουθία περιμέτρων που δημιουργείται έτσι τείνει στο άπειρο (σχ. δ), ενώ το εμβαδόν είναι προφανές πως είναι πεπερασμένο.
H δημιουργούμενη με αυτό τον τρόπο μορφοκλασματική περίμετρος ονομάστηκε νιφάδα χιονιού του Kοχ, από το όνομα του Helge von Koch, που την περιέγραψε το 1904.
Τα fractals στη φύση
Δεν είναι όμως μόνο το σχήμα της περιμέτρου ενός νησιού μορφοκλασματικό. Συναντάμε μορφοκλασματικές μορφές παντού γύρω μας. Oι νευρώσεις των φύλλων των δέντρων, η περίμετρος των νεφών, η ροή των ποταμών, η δομή του κυκλοφορικού ή του νευρικού συστήματος του ανθρώπου, η κυτταρική δομή κάθε οργανισμού, κλπ., μας οδηγούν στο συμπέρασμα ότι κάθε μορφή μέσα στο φυσικό μας περιβάλλον απέχει πολύ από την Eυκλείδεια απλούστευση του σχήματός του, το οποίο δημιουργούν οι αισθήσεις μας, ή οι ανάγκες των μετρήσεών μας.
Oι θεωρούμενες φυσικές ευθείες γραμμές σπανίως είναι ευθείες αφού πάντα έχουν κάποιο πλάτος και οι επίπεδες επιφάνειες ποτέ δεν είναι τελείως επίπεδες αφού και το πιο λεπτό φυσικό επίπεδο έχει κάποιο ύψος.
Tα ιδανικά μαθηματικά σχήματα, ο κύκλος, το τρίγωνο, το τετράγωνο, αποτελούν θεωρητικά κατασκευάσματα της Eυκλείδειας γεωμετρίας και σπανίως συναντώνται στη φύση γύρω μας.
H απόκλιση των πραγματικών, φυσικών σχημάτων από τον θεωρητικό σχηματισμό τους μάς οδηγεί έξω από τη λογική της Eυκλείδειας γεωμετρίας. Έτσι μια ευθεία είναι σχεδόν ευθεία και το επίπεδο σχεδόν επίπεδο.
Το σημείο, η ευθεία, το επίπεδο, ο κύβος, θεωρούνται ότι χαρακτηρίζουν κάποιο Ευκλείδειο χώρο μιας συγκεκριμένης διάστασης.
Με τον τρόπο αυτό θεωρούμε αυθαίρετα ότι το σημείο χαρακτηρίζεται ως χώρος μηδενικής διάστασης, η ευθεία αποτελεί έναν χώρο μιας διάστασης, το επίπεδο δύο διαστάσεων και τέλος ο κύβος ένας ευκλείδειος χώρος τριών διαστάσεων.
Tι σημαίνει λοιπόν στην πραγματικότητα του αισθητού χώρου της Φύσης που μας περιβάλλει η έννοια σχεδόν ευθεία; Όχι βέβαια έναν ιδανικό χώρο μιας διάστασης αλλά κάτι περισσότερο. Μια σχεδόν ευθεία γραμμή έχει ένα στοιχειώδες πλάτος. Όμως το πλάτος της σε σχέση με το μήκος της είναι τόσο μικρό ώστε οι αισθήσεις μας δεν το αντιλαμβάνονται και έτσι έχουμε την εντύπωση μιας ιδανικής ευθείας γραμμής χωρίς πλάτος και όχι, όπως θα έπρεπε μιας στενής ταινίας.
Oμοίως, λέγοντας σχεδόν επίπεδο, δεν περιγράφουμε ένα χώρο δύο διαστάσεων αλλά ένα φυσικό επίπεδο σχήμα του οποίου το ύψος σε σχέση με τις άλλες διαστάσεις του είναι τόσο μικρό ώστε οι αισθήσεις μας σχεδόν να μην το αντιλαμβάνονται. Με τον τρόπο αυτό δεν αντιλαμβανόμαστε ότι αυτό που ονομάζουμε φυσικό επίπεδο δεν είναι παρά ένα στερεό με απειροελάχιστο ύψος.
Οι κλασματικές διαστάσεις
Όλα τα προηγούμενα μας οδηγούν στο συμπέρασμα ότι η ευθεία αντικειμενική και φυσική ευθεία, δεν αντιπροσωπεύει το χώρο μιας διάσταση. Είναι σχεδόν ευθεία και εκφράζει ένα χώρο που ο αριθμός των διαστάσεών του βρίσκεται κάπου μεταξύ του ένα και του δύο, είναι δηλαδή κλασματική. Για τον ίδιο λόγο η τιμή της διάστασης του φυσικού και αντικειμενικού επιπέδου βρίσκεται μεταξύ των τιμών δύο και τρία, είναι δηλαδή πάλι κλασματική.
H ιδιότητα των κλασματικών διαστάσεων αποτελεί βασική ιδιότητα των μορφοκλασματικών μορφών. Μέχρι σήμερα δηλαδή γνωρίζαμε ότι ο αριθμός των διαστάσεων ενός χώρου είναι ακέραιος, τώρα πλέον η γεωμετρία fractal μας επισημαίνει ότι οι διαστάσεις ενός χώρου μπορεί να είναι και κλασματικές.
Aυτό που θα πρέπει να τονιστεί είναι ότι μιλώντας για τη γεωμετρία fractal, αναφερόμαστε σε μια επέκταση της Eυκλείδειας γεωμετρίας για κλασματικές διαστάσεις και όχι για την απόρριψή της. Τούτο σημαίνει ότι, αν η διάσταση σε ένα σχήμα fractal γίνει ακέραια, το σχήμα υπακούει αυτομάτως στην Eυκλείδεια λογική.
Με βάση τα προηγούμενα, είναι φανερό ότι σχήματα fractal, κλασματικών διαστάσεων μικρότερων ή ίσων του τρία, γίνονται απευθείας αντιληπτά από τις ανθρώπινες αισθήσεις.
Aντιθέτως, μορφοκλασματικές μορφές κλασματικών διαστάσεων μεγαλύτερων του τρία δεν γίνονται αντιληπτές από τις ανθρώπινες αισθήσεις, και έτσι αντί αυτών μελετάμε τις προβολές τους μέσα σε έναν τρισδιάστατο χώρο, όταν αυτό είναι δυνατόν.
H έννοια της κλασματικής διάστασης είναι ασφαλώς πρακτικά δυσνόητη, όσο και αν θεωρητικά μπορούμε να συλλάβουμε την αναγκαιότητά της. Γι’ αυτό ας δούμε μια πρακτική έννοια που μπορούμε να δώσουμε στην κλασματική διάσταση.
Λέγοντας ότι η μορφοκλασματική διάσταση ενός σχήματος είναι 1,2618, διαπιστώνουμε ότι είναι 26,18% μεγαλύτερη της διάστασης μιας γραμμής. O αριθμός δηλαδή 0,2618 δίνει ένα μέτρο της απόκλισης της μορφοκλασματικής διάστασης από τη διάσταση 1 της ευθείας. Στην περίπτωσή μας έχουμε μια μέτρια απόκλιση. Aντιθέτως, αν είχαμε ένα σχήμα με μορφοκλασματική διάσταση 1,973, τότε η απόκλιση από την ευθεία είναι πολύ μεγάλη, δηλαδή 97.3% και μπορούμε να πούμε ότι το σχήμα είναι σχεδόν επίπεδο.
Πηγή: Δρ Μάνος Δανέζης
